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剪辑：Aeneas

【新智元导读】对于60年的几何学困难周期性密铺问题，陶哲轩最近又有新冲破了。

陶哲轩一直在磋议的周期性密铺问题，又有新冲破了。

9月18日，陶哲轩和Rachel Greenfeld将预印本论文《平移单密铺的不可判定性 (Undecidability of translational monotilings)》上传到了arXiv。

这篇论文的主要论断是，如若网格的维数是无界的，那么细则网格的有限子集是否不错平铺该网格的周期子集的问题，即是不可判定的。

要知谈，此问题在维度1和维度2中是可判定的。

陶哲轩清楚，有点奇怪的是，文中所讲授的大庞杂组件都跟流行的游戏雷同——

多米诺骨牌的密铺雷同物，数独，电脑游戏「俄罗斯方块」，甚而连儿童游戏「Fizz buzz」都出现了。

为什么磋议一个数知识题，会触及到这样多游戏呢？陶哲轩也无法解释。

平移单密铺的不可判定性

此次的论文，是两东谈主上一篇论文的续集。贯穿 周期性密铺问题

在上篇论文中，他们构建了一个高维网格的平移单密铺

（因此单密铺是一个有限连续 ），它长短周期性的（莫得概念将这个密铺「诞生」成周期性密铺，其中当今相对于有限索绪言群是周期性的)。

这就反驳了Stein、Grunbaum-Shephard和Lagarias-Wang的周期性密铺忖度，他们断言这种非周期性密铺单体不存在。

（「帽子单密铺」是一种最近发现的非周期等距单密铺，在这种单密铺中，不错允许使用旋转、反射以及平移，大略更新的「幽魂单片」。上述单片与帽子单密铺同样，除了不需要反射）。

激勉陶哲轩和Rachel Greenfeld这个忖度的原因之一，是数学家Hao Wang的不雅察。

他发现，如若周期密铺忖度为真，那么平移密铺问题在算法上是可判定的——

有一个图灵机，对于，当给定一个维度和一个有限子集时，不错在有限的时代内细则是否不错密铺。

这是因为如若存在周期性密铺，就不错通过经营机搜索找到它。

如若根柢不存在密铺，那么通过紧致性定理可知，存在一些有限的子集，这些子集不成被不相交的平移所笼罩，这也不错通过经营机搜索来发现。

周期性密铺忖度断言这是仅有的两种可能的情况，从而给出了可判定性。

另一方面，Wang的论点是不可逆的：周期性密铺忖度的失败，并不自动意味着平移单密铺问题的不可判定性，因为它不捣毁存在一些其他算法来细则密铺，这种密铺不错不依赖于周期性密铺的存在。

（举例，即使有新发现的帽子和幽魂密铺，对于中有理通盘的多边形的等距单密铺问题是否是可判定的，仍然是一个悬而未决的问题，不论它有莫得反射。

本文的主要效率处置了这个问题（有一个劝诫）：

定理1

不存在职何算法，对于，给定一个维度，一个周期性子集，和一个有限子集，能在有限时代内细则是否存在一个平移密铺。

需要注重的是，必须使用的周期性子集，而不是一皆的；这在很猛进度上是由于这种要道的技巧戒指，况兼很可能通过出奇的发奋和创造力来捣毁。

另外，陶哲轩和Rachel Greenfeld还注重到，当，周期性密铺忖度是由Bhattacharya配置的，因此在这种情况下问题可判定。

对于任何的固定值，密铺问题是否可判定仍然是怒放的（注重，在上头的效率中，维度不是固定的，而是输入的一部分）。

由于算法不可判定性和逻辑不可判定性（也称为逻辑颓败性）之间存在尽人皆知的计划，此定理还清楚了存在一个（原则上明确可描写的）维度、的周期性子集，的有限子集，使得能通过平移密铺不成在ZFC连论断中被证明或证伪（诚然假定这个表面是一致的）。

当作这种要道的效率，咱们也不错在这里用「险些二维」群来代替，其中是一个有限阿贝尔群（当今成为输入的一部分，代替维度）。

接下来，描写讲授的一些主要想想。

讲授某个问题不可判定的常用要道是，将已知不可判定的其他问题「编码」到原始问题中，这样，任何判定原始问题的算法也能判定镶嵌的问题。

因此，咱们将 Wang密铺问题编码为单密铺问题：

问题2（Wang密铺问题）

给定一个有限的王氏密铺连续（单元正方形，每条边都从有限调色板中指定了某种神气），是否有可能用规范的格通过平移来密铺平面，使得相邻的密铺在共同边际上具有计划的神气？

Berger曾给出一个著明的效率，即这个问题是不可判定的。

将这一问题镶嵌高维平移单密铺问题需要过程一些中间问题。

领先，咱们不错很容易地将王氏密铺问题镶嵌到一个雷同的问题中，咱们称之为多米诺骨牌问题：

问题 3（多米诺骨牌问题）

给定一个水平（或垂直）的多米诺骨牌的有限连续或，它们是一双相邻的单元正方形，每个单元正方形都用有限连续中的一个元素点来点缀，是否不错在规范格密铺中为每个单元正方形分派一个点，使得这个密铺中的每一双水平（或垂直）的方格都能用到来自或的多米诺骨牌？

事实上，咱们只需要将每个王氏密铺当作一个单独的「点」插入，并界说多米诺骨牌集，为水平或垂直相邻、边际具有计划神气的王氏密铺对。

接下来，将多米诺骨牌问题镶嵌到数独问题中：

问题 4（数独问题）

的连续和「起始要求」（在这里就省略备先容了），是否不错为「数独棋盘」中的每个单元格分派一个数字，以便对于任何斜率和截距，沿着线的数字位于中（况兼遵循起始要求）？

这篇论文最新颖的部分是讲授了多米诺骨牌问题如实不错镶嵌到数独问题中。

将数独问题镶嵌到单密铺问题中，源于之前论文中修改的要道。

这些论文也引入了数独问题的版块，并创造了一种「密铺话语」，可用于把各式问题（包括数独问题）「编码」为单密铺问题。

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要将多米诺骨牌问题编码为数独问题，咱们需要取得一个多米诺函数

（遵从与某些多米诺骨牌集相干的多米诺骨牌敛迹），并使用它来构建数独函数（遵从与多米诺骨牌集相干的一些数独敛迹）；反过来说，每个遵从数独谜题设施的数独函数，都必须以某种神态从多米诺函数中产生。

这种作念法并不是很无庸赘述，然则在Emmanuel Jeandel的匡助下，陶哲轩和Rachel Greenfeld改编了Aanderaa和Lewis的一些概念，某些端倪结构被用来将一个问题编码另一个问题。

在这里，咱们解释分层结构（由于多米诺骨牌问题的二维性，需要使用两个不同的素数）。

然后，通过公式用构建数独函数，它将体现某种镶嵌。

其中是两个不同的大素数（举例，不错取，），清楚除以的次数，况兼

是的张开中的终末一个非零数字：

（，且）。

在的情况下，（1） 的第一个重量如下所示：

最终重量的典型实举例下所示：

有趣的是，不知为何，这里的遮拦基本上遵从了儿童游戏「Fizz buzz」的设施。

参考贵府：

https://terrytao.wordpress.com/2023/09/18/undecidability-of-translational-monotilings/